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AR, MA, ARMA는 정상성을 만족하는 시계열에서 시계열 데이터를 표현하는데 사용되었던 모델이다. 하지만, 실제 시계열 데이터를 보자면, 많은 데이터들이 비정상적인 특징을 갖고 있음을 확인 할 수 있다. 추세가 있거나 계절성 등이 포함되어 있는데, 이런 정보들은 간단히 시계열 데이터를 plot 해보면 알 수 있다. 이런 시계열 데이터에서 표본 ACF를 구하면 시차에 대해서 매우 서서히 감소하는 형태를 확인 할 수 있는데, 이는 잘못된 모형 identification으로 이어질 수 있다. 1) 시계열 데이터에서 추세가 있는 경우 간단하게 differencing을 통해서 추세를 제거할 수 있다. 1차 차분은 다음과 같이 표현된다. $\Delta Z_t = Z_t-Z_{t-1}=(1-B)Z_t$ d차 차분..

특정 시계열 데이터가 주어졌고, 추세, 계절성을 제거하여 정상성을 만족하는 시계열로 변환을 하였을 때, 표본 ACF와 표본 PACF를 바탕으로 ARMA의 p,q 를 추정한다. 이렇게 추정된 ARMA 모형은 이전 값을 갖고 예측을 할 수 있다. 예측과 관련되서, 시계열 모델은 예측을 위한 모델이라기 보다는 주어진 시계열 데이터를 잘 설명할 수 있는 모델이라고 보는 시각이 옳은 것으로 생각된다. 이후의 예측은 주어진 과거 데이터를 잘 설명하는 모델로 부터 앞으로 가장 나타날 그럴 듯한 현상에 대해 정보를 제공해 주고, 사용자는 이 정보를 바탕으로 앞으로 어떤 선택을 할지 도움을 받을 수 있다. 먼저, 시점 n 까지의 시계열 관측치로부터 1 step 이후의 예측치를 $f_{n,1}$로 나타내자. 만약에 k s..