1. Smoothing method (exponential smoothing)

1. Smoothing method (exponential smoothing)

1) 분석

먼저, 앞의 분석에서는 N개의 sample을 사용해서 평균 값을 구했다. 이외에 전체 데이터에 가중치를 곱해서 smoothing을 하는 방법이 있는데, 이 방법을 exponential smoothing이라고 한다. 시점 T에는 1의 가중치를, 이후 시점 T-1에는 lambda의 가중치, 시점 T-2에는 lambda^2의 가중치를 주어, 과거의 값을 더 반영하지 않고, 최근 값을 더 반영하여 smoothing하는 방법이다.

Smoothing constant a는 0과 1 사이이며, 위 식은 moving average와 달리, 이전 값을 저장하지 않아도 되기 때문에 memory 효율 면에서 유횽하다. (Deep learning에서 exponential smoothing방법으로 parameter의 gradient를 smoothing하고 gradient descent에 사용한다.) S는 simple exponential smoothing 혹은 exponentially weighted moving average (EWMA)라고 불린다. horizontal pattern 시계열 X에 대해 S의 기대치와 분산을 구하면 다음과 같다.

두번째로, linear trend를 갖는 시계열 X는 moving average 처럼, double exponential smoothing을 계산해야 한다. Double exponential smoothing은 다음과 같다.

다음으로, simple exponential smoothing과 double exponential smoothing의 기대값을 계산하면 다음과 같다.

위 두식으로 부터, b와 c를 다음과 같이 추정할 수 있다.

2) 예측

먼저, 시계열 X가 horizontal pattern을 갖는 경우 다음과 같이 예측한다.

다음으로, 시계열 X가 linear trend를 갖는 경우 다음과 같이 예측한다.

시계열 X가 linear trend를 갖을 때, double exponential smoothing은 Brown double exponential smoothing 방법으로 불리며, 정리하면 다음과 같다.

3) Holt's model

앞에서 구한 double exponential smoothing 외에, Holt's model로 linear trend를 smoothing 할 수 있다. Holt 모델은 다음과 같이 구성된다.

기존 double exponential smoothing과 달리 level과 trend를 구분해서 각 항목에 exponential smoothing을 추가하였다. 이외에 seasonality를 고려한 경우 Winters model을 사용하면 level, trend, seasonality를 모두 고려하는 시계열 모델을 구할 수 있다.